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Stand: 28.10.2003
Erstellt: F. Haberland

 Parameterstatistik

Mittelwert  Varianz   Konfidenzintervall   Autokorrelation

Zugrunde liegt eine Grundgesamtheit von messbaren Elementen, die einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegen. Über diese Verteilung ist "einiges" noch unbekannt.

Statistische Parameterschätzungen dienen dazu, aus einer vorhandenen Stichprobe { x_i} vom Umfang n soviel Information wie möglich über die Verteilung der Grundgesamtheit und ihre Parameter zu gewinnen. Eine für einen Parameter p "geeignete" Schätzfunktion f({ x_i}) muss drei wesentliche Eigenschaften besitzen:

• Erwartungstreue, d.h. E(f({ x_i})) = p
• Konsistenz, d.h. lim f({ x_i}) = p
• Wirksamkeit, d.h. minimale Varianz.

Vorausgesetzt wird die statistische Unabhängigkeit der Stichprobe und die Entnahme aus ein und derselben Grundgesamtheit. Bei Messung über einen stochastischen Prozess ist diese Voraussetzung identisch mit der Voraussetzung eines stationären Prozesses und einer unkorrelierten Stichprobenentnahme.

Es werden Schätzfunktionen für Mittelwert, Varianz und Quantile gebildet und mit Konfidenzintervallen hinterlegt.

Es werden Histogramm und empirische Verteilungsfunktion ermittelt.

Insbesondere ist die Schätzfunktion für den Mittelwert m

Für kleine Werte von n wird ein Konfidenzintervall mit Hilfe der Quantile der t-Verteilung gebildet. Für wachsendes n ist das arithmetische Mittel asymptotisch normalverteilt, so dass bei gegebenem Konfidenzniveau 1 - ( = Irrtumswahrscheinlichkeit) für großes n und bei Annahme einer bekannten Streuung  ein (einseitiges) Konfidenzintervall für den Mittelwert m als

angegeben werden kann. Dabei ist    das (1 - )-Quantil der normierten Normalverteilung.

Das Konfidenzintervall hat eine zufällige Lage (hängt von der Stichprobe ab) und umschließt den wahren und festen aber unbekannten Parameter m mit der Wahrscheinlichkeit (1 - ).

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Eine geeignete Schätzung für die Varianz  ist

Es können berechnet und dargestellt werden:

• empirischer Mittelwert, empirische Varianz,
• Konfidenzintervalle für Mittelwert und Varianz,
• empirische Nullpunkt- und Zentralmomente,
• Quantile,
• Histogramm (empirische Verteilungsdichte),
• empirische Verteilungsfunktion,
• Autokorrelation der Messreihe.

Histogramm und empirische Verteilungsfunktion werden grafisch dargestellt.

Berechnung der normierten Autokorrelationsfunktion:

Hierin sind { x_i} die Folge der Meßwerte in der Entstehungsreihenfolge, n der Stichprobenumfang und m der Abstand je zweier Messwerte in Schritten.

Auch bei korrelierter Stichprobenentnahme mit abklingender Autokorrelation ist eine sinvolle Parameterstatistik möglich (Prozessstatistik). Hier vergrößert sich die Varianz der Schätzfunktion und es wird mit dem Begriff "äquivalenter Stichprobenumfang" gearbeitet.

Details können erfragt werden.

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