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Stand: 28.10.2003
Erstellt: F. Haberland

Hypothesentest

Signifikanztest  Prüfplan  Alternativtest  Operationscharakteristik  Parametertest  sequentieller Test  gestutzter sequentieller Test

Ein Hypothesentest liefert die Entscheidungsaussage ja/nein über die Einhaltung eines geforderten Merkmals einer Lieferung (Abnahmetest). Solche Merkmale können auch Verkehrsgüte- oder Dienstgüte-Parameter sein. Hier werden Signifikanztests und auf Prüfplänen basierende Hypothesentests unterschieden.

Signifikanztest

Es soll geprüft werden, ob der Mittelwert m der Grundgesamtheit dem Sollwert m₀ entspricht. Die Fragestellung eines (einseitigen) Signifikanztests lautet:
Ist die Abweichung vom Sollwert m₀

signifikant oder nicht?

Die Entscheidung lautet

Mit der standardisierten Testgröße bei Annahme bekannter Streuung(!)

wird die Annahmegrenze z₀ bei vorgegebendem Signifikanzniveau 1 - ( Irrtumswahrscheinlichkeit) so bestimmt, dass
.

Die Abweichung gilt als nicht signifikant, wenn z < z₀ ist.

Bei (ggf. asymptotisch) normalverteiltem z ist das zugehörige Quantil aus

leicht zu berechnen. Dabei ist das (1 - )-Quantil der normierten Normalverteilung.

Dann lautet die Entscheidung bei

Bei Annahme liegt m₀ mit der Wahrscheinlichkeit 1 - im Bereich (Konfidenzintervall)
.

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Der Stichprobenumfang ist zunächst beliebig. Wird jedoch eine gewünschte Konfidenzbreite d₀ vorgegeben, kann der notwendige Stichprobenumfang als

berechnet werden.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit (Risiko) bedeutet:
Die Hypothese H₀ wird in 100 % der Anwendungsfälle abgelehnt, obwohl sie richtig ist (Lieferantenrisiko).

Der Signifikanztest liefert keine Aussage, wenn H₀ angenommen wird, aber falsch ist (Abnehmerrisiko).

Prüfpläne

Statistische Prüfpläne wurden unter der Fachgebietsbezeichnung "statistische Testtheorie" speziell für Qualitätsprüfungen entwickelt. Sie dienen dazu, vor Beginn einer Qualitätsprüfung die Interessen von Lieferant und Abnehmer miteinander abzustimmen und die Qualitätsprüfung nach strenger Regel und ohne weiteren Interpretationsspielraum durchzuführen.

Auszuführen ist ein Alternativtest:

Der Nullhypothese "Qualität gut" wird eine Alternativhypothese "Qualität schlecht" gegenübergestellt (Verhandlungsergebnis zwischen Lieferant und Abnehmer).

Der Prüfplan legt den Stichprobenumfang (resp. die Messzeit) und eine Annahmezahl fest. Als Ergebnis des Tests auf "Qualität gut" gibt es nur die glasklare Aussage "Ja" oder "Nein".

Herleitung des Prüfplans:

• Ermittlung des statistischen Modells
• Festlegen der Trennschärfe d des Tests (Quotient aus den Zahlenwerten von Nullhypothese und Alternativhypothese)
• Vorgeben von Lieferanten- und Abnehmerrisiko und (Verhandlungsergebnis)
• Berechnung der Operationscharakteristik
• Berechnung des Stichprobenumfangs und der Annahmezahl

Der erforderliche Stichprobenumfang ist umso größer

• je kleiner und sind
• je höher die Trennschärfe/Genauigkeit (kleines d) ist.

Bei der Ausführung des Tests gemäß Prüfplan können dann Fehler 1.Art zu Lasten des Lieferanten und Fehler 2.Art zu Lasten des Abnehmers mit genau definierten, weil vorher festgelegten, Wahrscheinlichkeiten auftreten.

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Alternativtest mit Attributprüfung

Modell: Die Grundgesamtheit enthält nur 2 alternative Ereignisse:

Das Testziel

• ist die Prüfung der Wahrscheinlichkeit p der alternativen Grundgesamtheit (Lieferung)
• ist nicht die Prüfung des meßbaren Merkmals, z.B. der Zeit t[s]
• ist die Prüfung der Eigenschaft von z.B. t, über ("schlecht") oder unter ("gut") einer Schwelle t₀[s] zu liegen.

Bei statistischer Unabhängigkeit der Ereignisse kann die Gültigkeit der Binomialverteilung vorausgesetzt werden.

Die Fragestellung eines (einseitigen) Alternativtests mit Attributprüfung lautet:
Wird der vereinbarte Ausschußprozentsatz p = p₀ ("Gutgrenze") einer Lieferung überschritten oder nicht?

Die Antwort liefert ein Alternativtest über das Merkmal p

Für die Trennschärfe d = p₁/p₀ > 1 sind übliche Werte d = 1,5; 2; 3.

Die Entscheidung wird getroffen mittels einer Stichprobe vom Umfang n mit

Die Entscheidung lautet:

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Operationscharakteristik des Tests

Der Prüfplan des Tests wird als Annahmekennlinie, Annahmewahrscheinlichkeit oder Operationscharakteristik (OC) bezeichnet.

Die Operationscharakteristik beschreibt die Annahmewahrscheinlichkeit der Lieferung als Funktion von p (Schlechtanteil der Lieferung = Grundgesamtheit) mit n und c der Stichprobe als Parameter.

Die Wahrscheinlichkeit, daß die Stichprobe höchstens c schlechte Elemente enthält, ist aus der Binomialverteilung zu berechnen:

Der Prüfplan garantiert mit zwischen Lieferant und Abnehmer vereinbarter Wahrscheinlichkeit

• dem Lieferanten, daß Lieferungen mit dem Ausschußanteil als "gut" bewertet und angenommen werden.
  H₀: p = p₀ richtig mit Wahrscheinlichkeit 1 - , = Lieferantenrisiko
• dem Abnehmer, daß Lieferungen mit dem Ausschußanteil als "schlecht" bewertet und zurückgewiesen werden.
  H₁: p = p₁ richtig mit Wahrscheinlichkeit 1 - , = Abnehmerrisiko.

Mit den Vorgaben

und den Identitäten L(p = 0) = 1, L(p = 1) = 0

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Parametertest

Bei einem Parametertest wird ein Parameter einer Verteilung geprüft, z.B. der Mittelwert (Prüfung auf meßbares Merkmal).

Angewendet auf Ausfallmodelle wird die Ausfallrate [h^-1] oder äquivalent der mittlere Ausfallabstand (MTBF) = ^-1 [h] getestet. Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Tests sind statistisch unabhängige Ausfallzeitpunkte und konstante Ausfallrate.

Dann sind die Ausfallzeitpunkte exponentialverteilt mit der Ausfallwahrscheinlichkeit

Testziel ist die Prüfung des wahren, unbekannten Ausfallabstands (Grundgesamtheit).

Dazu werden n Elemente (Stichprobe) vom Zeitpunkt t = 0 an beobachtet.

Die Beobachtung wird beendet,

• wenn eine vorgegebene Ausfallanzahl r = r* erreicht ist (dann ist die Beobachtungsdauer t zufällig)
• oder wenn eine vorgegebene Beobachtungsdauer t = t* erreicht ist (dann ist die Ausfallanzahl r zufällig).

T ist die summierte Lebensdauer. Sie ist gleich der Beobachtungsdauer.
Statistisches Modell: Stichprobe mit n = 1 und r-maligem Ersetzen bei Ausfall.

Die Maximum-Likelihood-Schätzung des Ausfallabstandes aus der Beobachtung ist

Geprüft wird, ob der vereinbarte Ausfallabstand = ₀ ("Gutgrenze") eingehalten wird oder nicht.

Mit einem Alternativtest über den Parameter = ^-1 der Exponentialverteilung

werden r Ausfälle über der Versuchsdauer T  beobachtet mit

Die Entscheidung lautet:

• Annahme von H₀ : = ₀
  für r c = r* - 1 Ausfälle in der Prüfzeit t_r = T,    Lieferung annehmen
• Rückweisung von H₀ (Ann. H₁ : = ₁)
  für r r* Ausfälle in Prüfzeit t_r* < T,    Lieferung zurückzuweisen.

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Operationscharakteristik des Tests

Die Annahmewahrscheinlichkeit (in der Prüfzeit T treten höchstens c = r*-1 Ausfälle auf) ergibt sich aus der Chiquadratverteilung als Funktion von (wahrer, unbekannter Ausfallabstand der Grundgesamtheit) mit der Ausfallanzahl r der Stichprobe als Parameter. Für eine beliebige Schranke  gilt:

wobei

und das -Quantil der Chiquadratverteilung mit 2r Freiheitsgraden sind.

Die Abbruchzahl r = r* in P( ) ist die kleinste ganze Zahl, die bei gegebenen , , ₀, ₁ die Bestimmungsungleichung

erfüllt, wobei d = ₀/₁ die vereinbarte Trennschärfe des Tests ist.

Es kommen noch die Bestimmungsgleichungen für die Prüfzeit T aus der Fixierung der beiden Punkte der Operationscharakteristik (₀, 1 - ) und (₁, ) hinzu:

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Zugrunde liegt der Satz von Poisson: Sind die Ausfallabstände eines Prozesses unabhängig identisch exponentialverteilt mit der Ausfallrate , dann hat die Anzahl x der Ausfälle innerhalb eines Zeitintervalls [0, T] eine Poissonverteilung mit dem Parameter T.

Für diese Poissonverteilung gilt:

Die beiden Bestimmungsgleichungen bedeuten nun:

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zulässigen Ausfallzahlen von x = 0 bis x = c (Annahmezahl) muss bei der Hypothese ₀ genau 1 - und bei der Gegenhypothese ₁ mindestens betragen.

Der Prüfplan garantiert mit zwischen Lieferant und Abnehmer vereinbarter Wahrscheinlichkeit

• P( ) P(₀) = 1 - dem Lieferanten, daß Lieferungen mit Ausfallabstand ₀ als "gut" bewertet und angenommen werden:
  H₀ : = ₀ richtig mit Wahrscheinlichkeit 1 - , = Lieferantenrisiko
• 1 - P( ) 1 - P(₁) = 1 - dem Abnehmer, daß Lieferungen mit Ausfallabstand £ ₁ als "schlecht" bewertet und zurückgewiesen werden:
  H₁ : = ₁ richtig mit Wahrscheinlichkeit 1 - , = Abnehmerrisiko

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Sequentieller Parametertest

Ein sequentieller Test ist ein sich selbst (automatisch) beendender Alternativtest. Bei Anwendung auf eine Attributprüfung werden der Grundgesamtheit schrittweise Stichprobenelemente entnommen und anhand der Annahmezahl c auf H₀, H₁ geprüft.

Der sequentielle Parametertest ist die Anwendung auf eine Parameterprüfung (Ausfallmodell). Dazu wird schrittweise die Prüfdauer erhöht und anhand der Ausfallzahl r auf H₀, H₁ geprüft.

Der Test wird beendet, wenn die akkumulierte Information für H₀ oder H₁ ausreicht. Andernfalls wird weitergeprüft.

Vorteil:

• Mittlere Testdauer bei "richtiger" Wahl von m₀, m₁ kleiner

Nachteil:

• Stichprobenumfang (Attributprüfung) bzw. Prüfdauer (Parameterprüfung) unbestimmt (Zufallsvariable)
• Höherer Stichprobenumfang bzw. Prüfdauer, wenn wahres m in der Nähe von m_0,5 liegt (Median, indifferente Qualität)
• Abhängige Stichprobe problematischer

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Operationscharakteristik des Tests

Die Operationscharakteristik eines sequentiellen Tests ohne Stutzung ist näherungsweise in parametrischer Darstellung

mit

wobei

(Details können erfragt werden)

Es gelten immer

Mittlere Entscheidungsdauer

Da bei einem sequentiellen Test die notwendige Prüfdauer (Beobachtungsdauer) bis zur Entscheidung eine Zufallsvariable ist, wird der Erwartungswert (Mittelwert) angegeben. Die mittlere Entscheidungsdauer ohne Stutzung ist näherungsweise

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Gestutzter sequentieller Parametertest

Der Nachteil hohen Stichprobenumfangs bzw. hoher Prüfdauer bei einem sequentiellen Parametertest ist durch Begrenzung (Stutzung) des Test vermeidbar.

Ein gestutzter sequentieller Parametertest auf den mittleren Ausfallabstand = ^-1 angewendet.

Voraussetzung für die Anwendbarkeit sind wie bei dem Parametertest

• statistische Unabhängigkeit der Ausfallzeitpunkte
• konstante Ausfallrate
• also exponentialverteilte Ausfallzeiten.

Entscheidungsalgorithmus

Entscheidungsgrundlage ist die akkumulierte Summenlebensdauer (Prüfdauer) T = T(r).

Weiter sind

(Details können erfragt werden)

Wenn r Ausfälle in T(r) auftreten, dann lautet die Entscheidung im Fall

Abbruch (Begrenzung, Stutzung) der Prüfung bei

Prüftabelle

In der Prüftabelle eines sequentiellen Tests sind schrittweise über der Ausfallzahl r die Werte der Annahmegeraden T₀(r) und der Rückweisungsgeraden T₁(r) aufgetragen. Entschieden wird anhand dieser Prüftabelle.

Stutzung

Als Stutzungsregel wird häufig r_st = r* + 1 verwendet, aber auch r_st = 3r* wird benutzt.

Die Stutzung beeinflußt Operationscharakteristik und mittlere Entscheidungsdauer.

Der Einfluß nimmt zu, je näher r_st an r* liegt.

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